蒙提霍尔游戏应该换还是应该不换？

1. 游戏一开始有三扇门：其中一扇门后面是大奖（比如汽车），另外两扇门后面是无价值的奖品（比如山羊）。
2. 选手先从三扇门中任选其一，但并不立即打开。
3. 主持人（知道各门背后的内容）会在剩下的两扇门中打开一扇门，且这扇门一定是山羊。
4. 然后主持人给选手一次机会：是否要放弃原先的选择，并换到剩余的另一个未打开的门。

问题是：此时到底应不应该换门？

. 初始选择与中奖概率

• 第一次选择时，选手并不知道哪扇门后面是大奖，所以选中大奖的概率是 1/3，选中山羊的概率是 2/3。

2. 主持人打开一扇山羊门

• 主持人绝不会打开大奖所在的门，如果你最初选的门恰好不是大奖，主持人就只能打开那两扇门中真正是山羊的那一扇。
• 这样一来，无论你第一个选择是什么，主持人都能保证最终留给你做二次选择的那扇门，要么是大奖，要么是另一只山羊。

3. 分情况计算换门与不换门的概率

让我们把初始选择分成以下两种情形，然后看在这两种情形下，「换门」和「不换门」分别导致的结果。

1. 首次选中的是大奖（概率 1/3）
   • 如果你不换门：你已经选到大奖，所以最后赢的概率就是 100%（但乘以前提 1/3 得出综合概率 1/3）。
   • 如果你换门：一定换到山羊，所以输的概率是 100%（综合概率 1/3 × 1 = 1/3）。
2. 首次选中的是山羊（概率 2/3）
   • 如果你不换门：那你保持原门，里面还是山羊，最终还是输（综合概率 2/3 × 1 = 2/3）。
   • 如果你换门：由于主持人打开的是另一扇山羊门，剩下未打开的那扇一定是大奖，所以你会赢（综合概率 2/3 × 1 = 2/3）。

根据上面的分析，可以汇总成下表：

表格

• 如果不换门：最终的中奖概率是 1/3。
• 如果换门：最终的中奖概率是 2/3。

结论

由上表可见，「换门」能让你中奖的概率从原本的 1/3 提高到 2/3。因此从数学层面分析，要想最大化获奖概率，就应该在主持人打开一扇山羊门后，选择换另一扇门。如果你继续坚守原先的选择，可能性只有 1/3。

因此，蒙提霍尔问题的正确策略是：「应该换」。